沪科版2016年中考数学复习方案课件专题突破_图文

发布于:2021-04-18 20:29:42

专题一 专题二 专题三

选择、填空题难题分析 数学建模 解直角三角形的应用

专题四
专题五 专题六 专题七

规律性探索题
动态性问题 阅读理解题 探究性问题

专题一 选择、填空题难题分析

专题一┃ 选择、填空题难题分析

安徽中考题中的选择题和填空题属于基础题,重在考查 学生的基础知识和基本技能.选择题的最后一题可能是图形 变化结合函数题,也可能是多知识综合的试题,有时还要用 到分类讨论、数形结合等数学思想;填空题的最后一道题多 为多选题,一般难度较大.

专题一┃ 选择、填空题难题分析
一、 选择题难题分析

例 1 [2013· 安徽] 如图 X1-1,点 P 是等边三角形 ABC 外 接圆⊙O 上一点,在以下判断中,不正确 的是 ( C ) ...

图 X1-1 A.当弦 PB 最长时,△APC 是等腰三角形 B.当△APC 是等腰三角形时,PO⊥AC C.当 PO⊥AC 时,∠ACP=30° D.当∠ACP=30°时,△BPC 是直角三角形

专题一┃ 选择、填空题难题分析

解 析 A. 当弦 PB 最长时, PB 是⊙O 的直径, O 既是等边△ABC 的内心,也是外心,所以∠ABP=∠CBP,根据圆周角性质, 弧 PA=弧 PC,所以 PA=PC,选项 A 正确;B.当△APC 是等 腰三角形时, 点 P 是弧 AC 的中点或与点 B 重合, 由垂径定理, 都可以得到 PO⊥AC,选项 B 正确;C.当 PO⊥AC 时,由点 P 是弧 AC 的中点或与点 B 重合,易得∠ACP=30°或∠ACP= 60°.选项 C 错误;D.当∠ACP=30°时,分两种情况,点 P 是弧 AC 或弧 AB 的中点,都可以得到△BPC 是直角三角形, 选项 D 正确.故选 C.

专题一┃ 选择、填空题难题分析

【点拨交流】 (1)要判断△APC 是等腰三角形,应具备什么条件? (2)怎样得到 PO⊥AC 呢? (3)当 PO⊥AC 时,点 P 在⊙O 的位置有几种情况?此 时∠ACP 的大小是多少? (4)当∠ACP=30°时, 点 P 在⊙O 的位置有几种情况? 此时△BPC 的形状有什么特征?

专题一┃ 选择、填空题难题分析



(1)需满足 AP=CP 或∠PAC=∠PCA.由弦 PB 最长即为 ⊙O 直径,证得弧 AP=弧 CP,进而得到 AP=CP. (2)根据垂径定理,只需满足点 P 是劣弧 AC 或优弧 ABC 的中点.由 PA=PC,根据圆心角、弧、弦之间的关系,可得 到弧 AP=弧 CP,即点 P 是劣弧 AC 或优弧 ABC 的中点. (3)当 PO⊥AC 时,根据垂径定理,点 P 可能是劣弧 AC 中点, 也可能是优弧 ABC 的中点, 此时∠ACP=30°或 60°; (4)当∠ACP=30°时,分两种情况:点 P 可能在劣弧 AC 上,也可能在劣弧 AB 上.根据圆周角定理,结合等边三角形 的性质易得到△BPC 均是直角三角形.

专题一┃ 选择、填空题难题分析

【方法总结】

专题一┃ 选择、填空题难题分析
二、 填空题难题分析

例 2 [2013· 安徽] 如图 X1-2,已知矩形纸片 ABCD 中, AB=1,BC=2,将该纸片折叠成一个平面图形,折痕 EF 不经 过 A 点(E,F 是该矩形边界上的点),折叠后点 A 落在点 A′处, 给出以下判断:

图 X1-2

专题一┃ 选择、填空题难题分析

①当四边形 A′CDF 为正方形时,EF= 2; ②当 EF= 2时,四边形 A′CDF 为正方形; ③当 EF= 5时,四边形 BA′CD 为等腰梯形; ④当四边形 BA′CD 为等腰梯形时,EF= 5.
①③④ 其中正确的是 ______________( 把所有正确结论的序号都 填在横线上).

专题一┃ 选择、填空题难题分析

解 析

当四边形 A′CDF 为正方形时, 折痕 EF 过点

B 且平分∠ABC,此时 EF= 2,故①正确;当折痕 EF 保持 与①中的折痕平行时,折痕 EF= 2,此时四边形 A′CDF 为 直角梯形,故②不正确;当 EF= 5时,折痕为对角线 BD, 此时四边形 BA′CD 为等腰梯形,故③正确;当四边形 BA′CD 为等腰梯形时, 折痕 EF 就是矩形 ABCD 对角线 BD 的长, 此 时 EF 一定等于 5,故④正确.

专题一┃ 选择、填空题难题分析

【点拨交流】 (1)图形的折叠能得到什么性质? (2)当四边形 A′CDF 为正方形时,折痕 EF 具有什么特征?怎 样求 EF? (3)若折痕 EF= 2, EF 一定经过点 B 吗?此时四边形 A′CDF 的形状是什么? (4)EF= 5时, 折痕 EF 有什么特殊性?四边形 BA′CD 的形状 是什么? (5)四边形 BA′CD 为等腰梯形时,怎样求折痕 EF 的长?

专题一┃ 选择、填空题难题分析


(1)图形的折叠能得到全等形. (2)此时折痕 EF 经过点 B(点 E 与点 B 重合), 且平分∠ABC, 即△ABF 是等腰直角三角形,根据勾股定理 EF= 12+12= 2. (3)把①中的折痕 EF 向右平移,此时 EF= 2,折痕 EF 不 一定经过点 B,此时四边形 A′CDF 是正方形或直角梯形. (4)EF= 5时,折痕 EF 就是矩形 ABCD 的对角线 BD,此 时四边形 BA′CD 是等腰梯形. (5)运用逆向思维, 当四边形 BA′CD 为等腰梯形时, 折痕 EF 是矩形 ABCD 的对角线 BD, 用勾股定理可求 EF= 12+22= 5.

专题一┃ 选择、填空题难题分析

【方法总结】

专题二 数学建模

专题二┃ 数学建模

解决生活中的实际问题,往往离不开数学建模,方程与函数 是常用的数学建模.列方程(组)解应用题和由实际问题建立函数 关系式, 利用函数的性质解决问题是安徽中考试题考查的热点题 型之一,主要涉及一次方程(组)的应用、一元二次方程的应用、 分式方程的应用、函数的图象与性质及函数的实际应用等.

专题二┃ 数学建模
一、 方程(组)及其应用

例 1 [2013· 安徽] 某校为了进一步开展“阳光体育”活 动, 购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍. 已知一副羽毛球拍比一 副乒乓球拍贵 20 元,购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的 2000 元要多,多出的部分能购买 25 副乒乓球拍. (1)若每副乒乓球拍的价格为 x 元,请你用含 x 的代数式 表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用; (2)若购买的两种球拍数一样,求 x 的值.

专题二┃ 数学建模

解 (1)4000+25x(元);

2000 2000+25x (2)根据题意,得 = , x x+20 解得 x=± 40, 经检验 x=± 40 都是原方程的解,但 x=-40 不合题意, 应舍去,只取 x=40.∴x=40.

专题二┃ 数学建模

【点拨交流】 (1)怎样用含 x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽 毛球拍的总费用? (2)问题的相等关系是什么?能建立什么样的方程? (3)怎样解这个分式方程?怎样验根?

专题二┃ 数学建模



(1)总费用中包括该校购买乒乓球拍的费用和购买羽毛球拍 的费用,由于购买乒乓球拍的费用是 2000 元,购买羽毛球拍的 费用是 (2000+ 25x)元,所以总费用=2000+(2000+25x)=4000 +25x(元); (2)根据问题中的相等关系 “购买乒乓球拍的数量=购买羽毛 2000 2000+25x 球拍的数量” ,可建立方程“ = ” . x x+20 (3)把方程两边同乘以 x(x+20),化为整式方程 2000(x+20) =(2000+25x)x,解得 x=± 40,经检验:x=± 40 都是原方程的 解,但 x=-40 不合题意,应舍去,只取 x=40.

专题二┃ 数学建模

专题二┃ 数学建模
二、 函数应用题

例 2 [2013· 安徽] 某大学生利用暑假 40 天社会实践参 与了一家网店的经营, 了解到一种成本为 20 元/件的新型商 品在第 x 天销售的相关信息如下表所示. 销售量 p=50-x p(件) 1 当 1≤x≤20 时,q=30+ x; 2 销售单价 q(元/件) 525 当 21≤x≤40 时,q=20+ . x

专题二┃ 数学建模

(1)请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件? (2)求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式; (3)这 40 天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润 是多少?

专题二┃ 数学建模

解 1 (1)①当 1≤x≤20 时,由 q=35 得:30+ x=35,解得 x=10; 2 525 ②当 21≤x≤40 时,由 q=35 得:20+ =35,解得 x=35. x 综上所述,当第 10 天或第 35 天该商品的销售单价为 35 元/件; ? ? 1 1 2 ? ? (2)①当 1≤x≤20 时, y=?30+ x-20?(50-x)=- x +15x+500; 2 2 ? ? ? ? 525 26250 ? ? ②当 21≤x≤40 时,y=?20+ -20?(50-x)= -525. x x ? ? ? 1 2 ?-2x +15x+500(1≤x≤20), 综上:y=? ?26250-525(21≤x≤40). ? x

专题二┃ 数学建模

(3)①当 1≤x≤20 时, 1 2 1 y=- x +15x+500=- (x-15)2+612.5, 2 2 1 ∵- <0, 2 ∴当 x=15 时,y 最大值=612.5(元); 26250 ②当 21≤x≤40 时,y= -525, x 26250 ∵ 随 x 的增大而减小, x 26250 ∴当 x=21 时,y 最大值= -525=725(元). 21 综上所述,这 40 天中该网店第 21 天获得的利润最大,最大 利润是 725 元.

专题二┃ 数学建模

【点拨交流】 (1)对于分段函数,如何求函数值对应的自变量取值? (2)如何确定该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系 式? (3)对于二次函数如何确定它的最值? (4)对于一般的函数,如何确定它的最值? (5)最终如何确定最大利润?

专题二┃ 数学建模
解 (1)根据分段函数的解析式,分别求出各个函数解析式中函数 值所对应的自变量的取值, 并结合自变量的取值范围进行取舍. 对 1 于 q=30+ x,当 q=35 时,x=10,在 1≤x≤20 范围内;对于 q 2 525 =20+ ,当 q=35 时,x=35,在 21≤x≤40 范围内. x (2)根据利润公式:总利润=每件商品的利润×销售的数量, 每件商品的利润=销售价格-成本价,由于销售单价与 x 之间是 分段函数关系,所以利润 y 也是关于 x 的分段函数.y= ? 1 2 ?-2x +15x+500(1≤x≤20), ? ?26250-525(21≤x≤40). ? x

专题二┃ 数学建模

(3)对于二次函数,一般用配方的方法配成顶点形式,结合 抛物线的开口方向和自变量的取值范围确定最值.当 1≤x≤20 1 2 1 1 2 时,y=- x +15x+500=- (x-15) +612.5,∵- <0, 2 2 2 ∴当 x=15 时,y 最大值=612.5(元); (4)一般的函数通常没有最值,但如果自变量的取值范围有 特别规定,可结合函数的增减性确定最值.当 21≤x≤40 时, 26250 26250 y= -525,∵ 随 x 的增大而减小,∴当 x=21 时, x x 26250 y 最大值= -525=725(元). 21 (5)综合考虑(3)、(4)两种情况下,比较得出结论.这 40 天中该 网店第 21 天获得的利润最大,最大利润是 725 元.

专题二┃ 数学建模

专题三 解直角三角形的应用

专题三┃ 解直角三角形的应用

解直角三角形的实际应用是将实际生活中的问题转化 为数学模型,通过构建直角三角形,利用勾股定理、锐角三 角函数、直角三角形的边角关系来解决问题.安徽中考题常 与航海、坡面、楼高的测量等问题相结合,体现了数学的应 用价值.预计 2014 年仍会出现解直角三角形的问题.

专题三┃ 解直角三角形的应用
一、 直接考查解直角三角形知识

例 1 如图 X3-1,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°, AC=2 3,求 AB 的长.

图 X3-1

专题三┃ 解直角三角形的应用



过点 C 作 CD⊥AB 于 D,在 Rt△ACD 中,∵∠A=30°, 1 ∴CD= AC= 3,由勾股定理得 AD= (2 3)2-( 3)2 2 CD = 9=3.在 Rt△BCD 中,∵tan45°= ,∴BD=CD= 3, BD ∴AB=AD+BD=3+ 3.

专题三┃ 解直角三角形的应用

【点拨交流】 (1)在一般三角形中,如何求边长? (2)在 Rt△ACD 中,如何求 AD? (3)在 Rt△BCD 中,如何求 BD? (4)如何求 AB 的长?

专题三┃ 解直角三角形的应用


(1)一般是作三角形的高(本题中过点 C 作 CD⊥AB 于 D), 构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系解题.注意尽量 不要分割已知的特殊角. AD (2)根据直角三角形的边角关系: cos30°= ,求得 AD AC 3 = ×2 3=3; 2 (3)先根据勾股定理或直角三角形的边角关系,求得 CD= CD 3,再根据 tan45°= ,BD=CD= 3; BD (4)根据线段的和差关系,AB=AD+BD=3+ 3.

专题三┃ 解直角三角形的应用

专题三┃ 解直角三角形的应用
二、 解直角三角形的实际应用

例 2 [2013· 安徽] 如图 X3-2,防洪大堤的横截面是梯 形 ABCD,其中 AD∥BC,坡角 α=60°,汛期来临前对其 进行了加固,改造后的背水面坡角 β=45°.若原坡长 AB= 20 m,求改造后的坡长 AE.(结果保留根号)

图 X3-2

专题三┃ 解直角三角形的应用
解 过点 A 作 AF⊥CE 于点 F,在 Rt△ABF 中,AB=20, 3 AF ∵sinα = ,∴AF=20× =10 3.在 Rt△AEF 中, AB 2 10 3 AF ∵sinβ = ,∴AE= =10 6(m). AE 2 2

专题三┃ 解直角三角形的应用

【点拨交流】 (1)如何把实际问题转化为数学问题? (2)如何求改造后的坡长 AE?



(1)根据题目中的已知条件, 将实际问题抽象为解直 角三角形的数学问题,画出平面几何图形,弄清已知条 件中各量之间的关系. (2)过点 A 作垂线,构造直角三角形,利用解直角三 角形求出坡长 AE.

专题三┃ 解直角三角形的应用

专题四 规律性探索题

专题四┃ 规律性探索题

规律性探索问题是指给出一组具有某种特定关系的 数、式、图形,或者给出与图形有关的操作、变化过程, 要求通过观察、分析、探究、猜想,确定其中蕴含的规律, 进而归纳出一般性规律,并加以运用.预计 2014 年仍会 出现考查此类问题的试题.

专题四┃ 规律性探索题
一、 数字变化型

例 1 [2012· 汕头] 观察下列等式: 1? 1 1 ? ? 第 1 个等式:a1= = ×?1- ? ; 1×3 2 ? 3? ? ? 1 1 ? ?1 1? 第 2 个等式:a2= = ×? - ?; 3×5 2 ?3 5? ? 1 1 ? ?1 1? 第 3 个等式:a3= = × - ?; 5×7 2 ? ?5 7? ? 1 1 ? ?1 1? 第 4 个等式:a4= = ×? - ?; 7×9 2 ?7 9? ?

专题四┃ 规律性探索题

请回答下列问题: (1) 按 以 上 规 律 列 出 第 5 个 等 式 : a5 = ________ = ________; (2)用含 n 的代数式表示第 n 个等式:an=________= ________(n 为正整数); (3)求 a1+a2+a3+a4+?+a100 的值.

专题四┃ 规律性探索题



1? 1 1 ? ?1 (1) ×? - ? 9×11 2 ?9 11? ? 1 ? 1 1 ? ? 1 ? - (2) ×? (2n-1)×(2n+1) 2 ?2n-1 2n+1? ? (3)a1+a2+a3+a4+?+a100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ×1- + - + - +?+ - + - 2 3 3 5 5 7 197 199 199 201 1 ? 1 ? ? ? 1 200 100 = ×?1- = × = . 2 ? 201? ? 2 201 201

专题四┃ 规律性探索题

【点拨交流】 (1)观察已知的 4 个等式,你发现这 4 个等式有什么规 律? (2)你能写出第 5 个等式吗? (3)根据这个特例,你能写出这些等式的一般形式吗? (4)你能运用上述规律解答问题吗? (5)本题体现了怎样的数学思想方法?

专题四┃ 规律性探索题

(1)每个等式可写成分数的形式, 分数的分子是 1, 分母是连续

1 奇数的乘积;也可以写成两个分数的乘积,其中一个因数是 ,另一个因数是 2 两个分数的差,且分母与前面的分母对应一致. 1 1 ?1 1 ? (2)根据前面 4 个等式的排列规律,第 5 个等式为 a5= = ×?9-11?. 9×11 2 ? ? 1 (3)采用由特殊到一般的思想,可得 an= = (2n-1)×(2n+1) 1 ? 1? 1 - ? ?(n 为正整数). 2?2n-1 2n+1? 1 (4)把 a1,a2,a3,?,an 写成分数的差的形式,提取 后,采用互为相反 2 数相加的方法求解. (5)从特殊到一般、逆用乘法分配律.

专题四┃ 规律性探索题

专题四┃ 规律性探索题
二、 数式与图形的结合

例 2 [2013· 安徽] 我们把正六边形的顶点及其对称中 心称作如图 X4-1(1)所示基本图的特征点,显然这样的基 本图共有 7 个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得 相邻两个基本图的一边重合,这样得到图(2)、图(3)??.

图 X4-1

专题四┃ 规律性探索题

(1)观察以上图形并完成下表: 图形名称 基本图的个数 特征点的个数 图(1) 1 7 图(2) 2 12 图(3) 3 17 图(4) 4 ? ? ? 猜想:在图(n)中,特征点的个数为________(用含 n 的式子 表示);

专题四┃ 规律性探索题

(2)如图 X4-2,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第 一个基本图的对称中心 O1 的坐标为(x1, 2), 则 x1=________; 图(2013)的对称中心的横坐标为________.

图 X4-2

专题四┃ 规律性探索题



(1)22

5n+2

(2)正六边形的边长是 2,所以边心距为 3,即 x1= 3;图(2) 的对称中心在正六边形的一边上,横坐标为 2 3;图(3)的 3,?, 3.

对称中心是正中间的正六边形的中心,横坐标为 3 以此类推,图(2013)的对称中心的横坐标为 2013

专题四┃ 规律性探索题

【点拨交流】 (1)观察图(1)、图(2)、图(3),你能发现什么规律吗? (2)你能写出图(4)中特征点的个数吗? (3)根据特例,你能写出在图(n)中特征点的个数吗? (4)图 (1)是中心对称图形吗?它的对称中心的横坐标是 多少? (5)图(2)、 图(3)、 图(4)的对称中心的横坐标有什么规律? 依此规律,你能写出图(2013)的横坐标吗?

专题四┃ 规律性探索题
解 (1)每个图形比上一个图形的特征点的个数多 5. (2)图(4)中特征点的个数比图(3)中多 5 个,因此图(4)中 特征点的个数是 17+5=22(个). (3)根据特例得出的规律,并依此规律,得图(n)中有 (5n +2)个特征点. (4)图(1)是中心对称图形,根据正六边形的有关计算,图

(1)的对称中心的横坐标是 3. (5)图(2)的对称中心的横坐标是 2 的横坐标是 3 3,图(3)的对称中心 3,?, 3.

3,图(4)的对称中心的横坐标是 4

依此规律,图(2013)的对称中心的横坐标是 2013

专题四┃ 规律性探索题

【方法总结】 特例→归纳基础 ↓ 归纳概括→在特例基础上、观察、抽象、概括 ↓ 猜想→得出一般性结论 ↓ 类似的方法写出点的坐标

专题五 动态性问题

专题五┃ 动态性问题

动态性问题多以函数图象、三角形、四边形等为载体, 以点、线、图形的运动为直观反映,探寻运动过程中各种数 量之间的关系. 解决此类问题要对图形的运动过程有一个完 整、清晰的认识, “化动为静”“动中求静”,挖掘“动” 与“静”的内在联系, 找寻变化规律, 寻求解决问题的策略.

专题五┃ 动态性问题
一、 动点问题 例 1 [2013· 衡阳] 如图 X5-1,P 是正方形 ABCD 的边 AD 上一个动点,AE⊥BP,CF⊥BP,垂足分别为点 E、F, 已知 AD=4. (1)试说明:AE2+CF2 的值是一个常数; (2)过点 P 作 PM∥FC 交 CD 于点 M,点 P 在何位置时 线段 DM 最长,并求出此时 DM 的值.

图 X5-1

专题五┃ 动态性问题
解 (1)∵AE⊥BP ,∴∠AEB = 90 ° . ∵ CF ⊥ BP ,∴∠ BFC =90°.又∠ABE+∠CBF=90°,∠ABE+∠BAE=90°, ∴∠BAE=∠CBF.又 AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE= CF,∴AE2+CF2=AE2+BE2=AB2=16. (2)∵AE⊥BP , CF⊥BP , ∴AE∥CF. 又 PM∥FC , ∴AE∥PM,∴∠DPM=∠DAE,又∠PAE+∠APE=90°, ∠ABE+∠APB=90°,∴∠PAE=∠ABP.在 Rt△APB 中, AP x DM x 设 AP=x,则 tan∠ABP= = ,∴tan∠DPM= = , AB 4 4-x 4 1 2 x ∴DM= (4-x)=- x +x,∴当 x=2 时,DM 有最大值, 4 4 最大值为 1.

专题五┃ 动态性问题

【点拨交流】 (1)如何说明线段的长度和是一个常数? (2)在线段 AD 上如何确定点 P 的位置? (3)如何确定线段 DM 的最大值?

专题五┃ 动态性问题 解

(1)要说明两条线段的长度和为一个常数, 我们可以证 明该两线段的长度和等于一已知线段的长度.根据勾股定 理,要说明 AE2+ CF2 的值是一个常数,只需通过证明 △ABE≌△BCF,得到 CF=BE 即可. (2)由于 AD=4, 要确定点 P 在线段 AD 上的位置, 只 需确定 AP 或 DP 的长. (3)关于最值问题,我们一般联想到利用二次函数.可 设 AP=x,根据相似三角形,建立 DM 与 x 之间的函数关 系式,再根据函数的性质确定 DM 的最值.

专题五┃ 动态性问题

【方法总结】 全等三角形→线段相等 ↓ 勾股定理→两边的平方和是定值 ↓ 建模→根据相似三角形对应边成比例建立二次函数关系 ↓ 配方法→求二次函数的最值

专题五┃ 动态性问题
二、 动图问题

例 2 在△ABC 中,∠ ACB= 90°,∠ ABC= 30°,将 △ABC 绕顶点 C 顺时针旋转,旋转角为 θ(0°<θ<180°), 得到△A′B′C. (1)如图 X5-2①,当 AB∥CB′时,设 A′B′与 CB 相交于 D.求证:△A′CD 是等边三角形; (2)如图②,连接 A′A、B′B,设△ACA′和△BCB′的面积 分别为 S△ACA′和 S△BCB′.求证:S△ACA′∶S△BCB′=1∶3; (3)如图③,设 AC 的中点为 E,A′B′的中点为 P,AC =a,连接 EP,当 θ=________°时,EP 的长度最大,最大 值为________.

专题五┃ 动态性问题

图 X5-2

专题五┃ 动态性问题

(1) 证明:∵AB∥CB′,∴∠B′CB=∠ABC=30°, ∴∠A′CD=90°-30°=60°. 又∠A′=∠A=60°,∴∠A′DC=60°,∴△A′CD 是等边三角形. (2)证明:∵CA∶CB=CA′∶CB′=1∶ 3,而∠ACA′=∠BCB′=θ, ∴△ACA′∽△BCB′,∴S△ACA′∶S△BCB′=(1∶ 3)2=1∶3. 1 1 (3)连接 CP, 则 CP= A′B′= ×2a=a.∵EC+PC≥EP, ∴EP≤ 2 2 1 3 a+a= a,当点 P 还是 AB 中点时,∠ACP=60°;当∠ACP=180° 2 2 3 时,E、C、P 三点共线,这时 EP= a 为最大,θ=180°-60°= 2 120°.

专题五┃ 动态性问题

【点拨交流】 (1)如何证明一个三角形是等边三角形? (2)如何求两个三角形面积的比? (3)如何在图形的运动过程中,确定两个点之间的距离 EP 的最大值? (4)本题体现了什么数学思想?

专题五┃ 动态性问题


(1)有三种方法:①可以证三角形的三条边相等;②可以证三 角形有两个角等于 60°;③可以证有一个角等于 60°,且是等腰 三角形. (2)求两个三角形面积的比的问题,一般先证明这两个三角形 相似,再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解. (3)方法一:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 在图形的运动过程中,斜边中点 P 始终保持到点 C 的距离相等, 1 即点 P 在以 C 为圆心, AB 长为半径的圆(静)上运动,这样求 EP 2 的最大值就变成了求圆内一点到圆上一点的距离何时最大的问题. 方法二:也可以连接 CP,根据三角形的三边关系,EP≤CE +CP,也能确定 EP 的最大值. (4)转化与化归的思想.

专题五┃ 动态性问题

专题六 阅读理解题

专题六┃ 阅读理解题

阅读理解题,是通过阅读材料,理解其实质,把握其方 法规律,从而解决新的问题.此类问题内容丰富、构思新颖, 能有效考查学生灵活运用数学知识,合理构建数学模型以及 迁移新知识,解决新问题的能力,已成为各省市中考所展示 的一种新题型.

专题六┃ 阅读理解题
一、 给出一个新概念

例 1 [2013· 安徽] 我们把由不平行于底边的直线截等腰 三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形” ,如图 X6- 1(1),四边形 ABCD 即为“准等腰梯形”,其中∠B=∠C. (1)在图(1)所示的“准等腰梯形”ABCD 中, 选择合适的 一个顶点引一条直线将四边形 ABCD 分割成一个等腰梯形和 一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形 (画出一种 示意图即可); (2)如图(2),在“准等腰梯形”ABCD 中,∠B=∠C,E AB BE 为边 BC 上一点,若 AB∥DE,AE∥DC,求证: = ; DC EC

专题六┃ 阅读理解题

(3)在由不平行于 BC 的直线 AD 截△PBC 所得的四边形 ABCD 中,∠BAD 与∠ADC 的平分线交于点 E,若 EB=EC, 请问当点 E 在四边形 ABCD 内部时(即图(3)所示情形),四边 形 ABCD 是不是“准等腰梯形”,为什么?若点 E 不在四边 形 ABCD 内部时,情形又将如何?写出你的结论.(不必说明 理由)

图 X6-1

专题六┃ 阅读理解题


(1)如图所示(画出其中一种即可).

(2)证明: ∵AB∥DE, AE∥DC, ∴∠AEB=∠C, ∠DEC AB DE = ∠B , ∴△ABE∽△DEC , ∴ = . ∵ ∠ B = ∠C , BE EC AB BE ∴∠DEC=∠C,∴DE=DC,∴ = . DC EC

专题六┃ 阅读理解题

(3)四边形 ABCD 是“准等腰梯形”. 理由:过点 E 分别作 EF⊥AB 于 F, EG⊥CD 于 G,EH⊥AD 于 H,如图, ∵AE 平分∠BAD,∴EF=EH,同理 EH=EG, ∴EF=EG.∵EB=EC,∴△EBF≌△ECG, ∴∠EBF=∠ECG.∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB, ∴∠ABC=∠DCB,∴四边形 ABCD 是“准等腰梯形”. 当点 E 不在四边形 ABCD 内部时,分两种情况:(1)点 E 在 四边形 ABCD 的边 BC 上时,四边形 ABCD 是“准等腰梯形”; (2)点 E 在四边形 ABCD 的外部时,四边形 ABCD 不一定是“准 等腰梯形”.

专题六┃ 阅读理解题

【点拨交流】 (1)你是如何理解“准等腰梯形”的概念的? (2)如何将“准等腰梯形”通过添加辅助线转化为“一个 等腰梯形和一个三角形或一个等腰三角形和一个梯形”? (3)如何证明成比例线段? (4)已知角的平分线,一般怎样添加辅助线?为什么? (5)如何证明一个四边形是“准等腰梯形”? (6)如何研究点 E 不在四边形 ABCD 内部时,四边形 ABCD 是否是“准等腰梯形”?

专题六┃ 阅读理解题



(1)“准等腰梯形”是问题给出的一个新概念, 它不是梯形, 更不是等腰梯形,但它有两个相邻内角相等. (2)根据“准等腰梯形”有两个相邻的内角相等,我们可以 过某一顶点作平行线来解决问题. (3)证明成比例线段,一般是证明这四条线段所在的两个三 角形相似,本题中还要结合“准等腰梯形”的概念,由等角得 到等边实现相等线段之间的转换. (4)已知角的平分线,一般过这个角平分线上一点作到角的 两边的垂线段,因为这个垂线段长度相等.

专题六┃ 阅读理解题

(5)证明一个四边形是“准等腰梯形”就是要根据“准等 腰梯形”的概念证明它有两个相邻的角相等, 这里可运用全等 三角形和等腰三角形知识证明∠ABC=∠DCB. (6)我们可以用类比的方法, 通过平移直线 BC 把它转化为 点 E 在四边形 ABCD 内部的情形, 但要采用分类讨论的思想, 分两种情况进行研究,点 E 不在四边形 ABCD 内部时,BE= EC 有两种情况, 一种情况下四边形 ABCD 是“准等腰梯形”, 一种情况下不是“准等腰梯形”.

专题六┃ 阅读理解题

【方法总结】 阅读材料→理解“准等腰梯形”概念 ↓ 操作→利用“准等腰梯形”概念作图 ↓ 证明→利用概念证明或如何证明“准等腰梯形” ↓ 探究→条件变换下是否仍是“准等腰梯形”

专题六┃ 阅读理解题
二、 给出新的解题过程

例 2 [2013· 凉山州] 先阅读以下材料,然后解答问题. 材料: 将二次函数 y=-x2+2x+3 的图象向左平移 1 个单 位,再向下平移 2 个单位,求平移后的抛物线的解析式(平移后 抛物线的形状不变). 解:在抛物线 y=-x2+2x+3 上任取两点 A(0,3),B(1,4), 由题意知:点 A 向左平移 1 个单位得到 A′(-1,3),再向下 平移 2 个单位得到 A″(-1, 1); 点 B 向左平移 1 个单位得到 B′(0, 4),再向下平移 2 个单位得到 B″(0,2).

专题六┃ 阅读理解题

设平移后的抛物线的解析式为 y=-x2+bx+c, 则点 A″(-1,1),B″(0,2)在抛物线上.
? ? ?-1-b+c=1, ?b=0, 可得? 解得? ? ? ? c=2, ?c=2,

所以平移后的抛物线的解析式为 y=-x2+2. 根据以上信息解答下列问题: 将直线 y=2x-3 向右平移 3 个单位, 再向上平移 1 个单位, 求平移后的直线的解析式.

专题六┃ 阅读理解题



由平移的性质,可设平移后的一次函数解析式为 y=2x +b,在直线 y=2x-3 上任取一点 A(0,-3),由题意知:点 A 向右平移 3 个单位得 A′(3,-3),再向上平移 1 个单位得 A″(3,-2).把 A″(3,-2)代入 y=2x+b,得-2=2×3+ b,b=-8.所以平移后的一次函数解析式为 y=2x-8.

专题六┃ 阅读理解题

【点拨交流】 (1)平移有哪些性质?函数图象的平移有什么规律? (2)直线 y=2x-3 上的一个点 A(0, -3)向右平移 3 个单位, 再向上平移 1 个单位后得到的点 A″的坐标是多少? (3)仿照材料给出的解题过程,如何解答后面的问题?

专题六┃ 阅读理解题



(1)平移只改变图形的位置,不改变图形的形状与大小,因 此二次函数的图象平移后,二次项的系数 a 不变;一次函数的 图象平移后一次项的系数 k 不变. (2)点 A(0,-3)向右平移 3 个单位,再向上平移 1 个单位 后得到的点 A″的坐标是(3,-2). (3)根据平移的性质, 可设平移后的解析式为 y=2x+b, 由 (2)得 A″(3,-2)在平移后的函数图象上,用代入法,得-2= 2×3+b,b=-8.所以平移后的一次函数解析式为 y=2x-8.

专题六┃ 阅读理解题

【方法总结】 阅读材料→理解解题过程 ↓ 平移的性质→平移只改变图形的位置, 不改变图形的形状与大小 ↓ 找到平移后的点的坐标 ↓ 用待定系数法确定函数解析式 ↓ 模仿→仿照材料里的解题过程解决新问题

专题七 探索性问题

专题七┃ 探索性问题

探究性问题最常见的题型是命题中缺少一定的条件或无明 确的结论,要求添加条件或概括结论;也可能是根据给定条件 判断结论存在与否的问题.此类问题具有较强的综合性,涉及 的知识面较广,需要学生多角度、多侧面、多层次地思考问题, 因此试题具有一定的难度.

专题七┃ 探索性问题
一、 条件探究

例 1 [2013· 潍坊] 如图 X7-1,ABCD 是对角线互相垂直 的四边形,且 OB=OD,请你添加一个适当的条件________, 使 ABCD 成为菱形.(只需添加一个即可)

图 X7-1

本题答案不唯一, 如 OA=OC 或 AB=BC 或 AD=CD 或 AD=BC 或 AB=CD 或 AD∥BC 或 AB∥CD 等

专题七┃ 探索性问题

【点拨交流】 (1)有哪些方法可以判定一个四边形是菱形? (2)ABCD 是对角线互相垂直的四边形, 还需满足什么条件 可判定它是菱形呢? (3)在已知 OB=OD 的条件下,添加什么条件可以判定四 边形 ABCD 是平行四边形?

专题七┃ 探索性问题

解 (1)判定一个四边形是菱形的方法主要有:①四条边都相 等的四边形;②有一组邻边相等的平行四边形;③对角线互 相垂直的平行四边形等. (2)还需满足四边形 ABCD 是平行四边形. (3)根据对角线互相平分的四边形是平行四边形,可添加 的直接条件是:OA=OC;间接条件是:AB=BC 或 AD=CD 或 AD=BC 或 AB=CD 或 AD∥BC 或 AB∥CD, 通过证三角 形全等得到 OA=OC.

专题七┃ 探索性问题

专题七┃ 探索性问题
二、 结论探究
例 2 [2013· 淄博] 分别以平行四边形 ABCD(∠CDA≠90°)的三边 AB, CD,DA 为斜边作等腰直角△ABE,△CDG,△ADF. (1)如图 X7-2①,当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时, 连接 GF,EF.请判断 GF 与 EF 的关系(只写结论,不需证明); (2)如图②, 当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时, 连接 GF, EF,(1)中结论还成立吗?若成立,给出证明:若不成立,说明理由.

图 X7-2

专题七┃ 探索性问题
解 (1)GF=EF,GF⊥EF.理由如下:∵四边形 ABCD 是平行 四边形,∴CD=BA.∵△CDG 和△BAE 分别是以 CD 和 BA 为 2 2 斜边的等腰直角三角形,∴DG=AE= CD= AB. 2 2 在△GDF 中, ∠GDF=∠GDC+∠FDA+∠CDA=90°+ ∠CDA. 在△EAF 中,∠EAF=360°-∠BAD-∠BAE-∠DAF =360°-(180°-∠CDA)-90°=90°+∠CDA. ∵ DF = FA ,∴△GDF≌△EAF ,∴GF = EF ,∠DFG = ∠AFE.∵∠DFG+∠GFA=90°,∴∠AFE+∠GFA=90°, ∴GF⊥EF.

专题七┃ 探索性问题

(2)成立.证明如下: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴CD=BA.∵△CDG 和 △BAE 分别是以 CD 和 BA 为斜边的等腰直角三角形, ∴DG 2 2 =AE= CD= AB. 2 2 在△GDF 中,∠GDF=∠GDC+∠FDA-∠CDA=90 °-∠CDA. 在△EAF 中,∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=180 °-∠CDA-90°=90°-∠CDA. ∵ DF = FA ,∴△GDF≌△EAF ,∴GF = EF ,∠DFG =∠AFE.∵∠DFG+∠GFA=90°, ∴∠AFE+∠GFA=90°,∴GF⊥EF.

专题七┃ 探索性问题

【点拨交流】 (1)两条线段的关系包括哪些? (2)如何确定两条线段 GF 与 EF 之间的位置关系和数量关 系? (3)判定两个三角形全等的方法有哪些? (4)当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时, 如何 探究 GF 与 EF 的关系?

专题七┃ 探索性问题



(1)两条线段之间的关系主要包括:位置关系和数量关系. (2)根据全等三角形的判定定理,证得△GDF≌△EAF,得 到 GF=EF,∠DFG=∠AFE,进而得到 GF⊥EF. (3)判定两个一般三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS, SSS, 判定两个直角三角形全等除了上述方法外, 还可以用 HL. (4)类比第(1)小题的方法,通过证明△GDF≌△EAF,得到 相等的线段和相等的角,进而研究 GF 与 EF 的位置关系和数 量关系.

专题七┃ 探索性问题

专题七┃ 探索性问题
三、 存在性问题探究

例 3 [2013· 白银] 如图 X7-3,在直角坐标系 xOy 中,二 次函数 y=x2+(2k-1)x+k+1 的图象与 x 轴交于 O、A 两点. (1)求这个二次函数的解析式; (2) 在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点 B ,使 △AOB 的面积等于 6,求点 B 的坐标; (3)对于(2)中的点 B, 在此抛物线上是否存在点 P, 使∠POB =90°?若存在,求出点 P 的坐标,并求出△POB 的面积;若 不存在,请说明理由.

图 X7-3

专题七┃ 探索性问题



(1)把点 O(0,0)代入 y=x2+(2k-1)x+k+1,得 0=k +1,解得 k=-1,∴y=x2-3x. (2)设 B(m,m2-3m).当 y=0 时,x2-3x=0,x=0 或 1 x=3,所以点 A 坐标为(3,0).则有 ×3×|m2-3m|=6,解 2 得 m=-1 或 m=4,这时 B(-1,4)或(4,4).∵点 B 在对 称轴右边,∴点 B 的坐标为(4,4).

专题七┃ 探索性问题

(3)存在.如图,∵点 B 的坐标为(4,4),∴∠BOA=45°. 而∠POB=90°, ∴∠POA=45°, 故可设 P(n, -n). 把点 P(n, -n)代入 y=x2-3x,得- n=n2-3n,∴n=0(舍去)或 n=2, ∴P(2,-2).这时 OB= 42+42=4 2,OP= 22+22=2 2×2 2=8. 2, 1 1 ∴△POB 的面积为 OB·OP= ×4 2 2

专题七┃ 探索性问题

【点拨交流】 (1)如何确定该二次函数的解析式? (2)设点 B 的横坐标为 m, 怎样用含 m 的代数式表示点 B 的 坐标? (3)如何用含 m 的代数式表示△AOB 的面积?如何求点 B 的坐标? (4)怎样确定在此抛物线上是否存在点 P,使∠POB=90° 呢?

专题七┃ 探索性问题

解 (1)利用待定系数法,一般有几个未知系数,就需要找几 个点的坐标.由于该二次函数的解析式只含有一个字母系 数,又二次函数的图象经过点(0,0),代入即可确定 k=-1, 即二次函数解析式为 y=x2-3x. (2)代人变形,因为点 B 在抛物线 y=x2-3x 上,当 x= m 时,y=m2-3m,所以点 B 坐标为(m,m2-3m).

专题七┃ 探索性问题

(3)先求抛物线与 x 轴的交点坐标,即求 y=0 时对应的 x 1 ? ? 2 ? ?=6,解得 m - 3 m 的值,再根据三角形的面积建立方程 ×3×? ? 2 m=-1 或 m=4,并结合点 B 的位置确定它的坐标是(4,4). (4)探究存在性问题,一般是先假设存在,然后看是否会推 出矛盾,如推出矛盾则不存在,反之则存在.先假定在此抛物 线上是否存在点 P,使∠POB=90°,根据已知条件推出点 P 的坐标特征,并用含有未知数的代数式表示点 P 坐标,把点 P 代入二次函数的解析式,若有解,则存在,若无解,则不存在.

专题七┃ 探索性问题

【方法总结】 用待定系数法确定二次函数解析式 ↓ 根据三角形的面积建立方程→点B坐标 ↓ 假设点P存在→设点P坐标(n,-n) ↓ 点P在y=x2-3x上→建立方程-n=n2-3n ↓ 解方程-n=n2-3n,若有实数解就存在,若无实数解就不存在


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