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湘教版九年级数学上册课件 2.3 一元二次方程根的判别_图文

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ax2+bx+c=0 2.3 1、一元二次方程定义及一般形式: 只含有一个未知数,未知数的最高次数是二次的整式方程 (由二次多项式组成的方程)叫做一元二次方程。 一般形式: ax2+bx+c=0 (a≠0) 。 2、一元二次方程的解法有哪些? (1)平方根的意义(开平方法) ax2=b(b≠0) (2) 配方法 方程两边同加上一次项系数一半的平方. (3)公式法 -b±√b2-4ac x= 2a (b2-4ac≥0) (4)因式分解法 AB=0 先化成A一=般0或形B式=哦0 ! 3、用公式法解下列方程: (1)(x+3)(x-3)=4(x-1) x1=5,x2=-1 (2) (2a-3)2=(a-2)(3a-4) a1=a2=1 (3)(3y+1)2+5=(y-2)2-7 没有实数根 讨论上述三个方程解的情况: (1)(x+3)(x-3)=4(x-1) x1=5,x2=-1 一般形式是:x2-4x-5=0 b2-4ac=36?0 (2) (2a-3)2=(a-2)(3a-4) a1=a2=1 一般形式是:a2-2a+1=0 b2-4ac=0 (3)(3y+1)2+5=(y-2)2-7 没有实数根 一般形式是:8y2+10y+9=0 b2-4ac=-188?0 由此可见,一元二次方程的根有几种情况?由哪个式子确定? 我们把b2-4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。 记做“Δ”,即Δ=b2-4ac 结论 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)经过配方得: (x+ b 2a )2= b2-4ac 4a2 (1)当Δ=b2-4ac?0,原方程有两个不相等的实数根,其根为: 正数有两个平方根。 x1= -b+√b2-4ac 2a -b-√b2-4ac x2= 2a (2)当Δ=b2-4ac=0,原方程有两个相等的实数根,其根为: 0的平方根是0。 x1=x2= - b 2a (3)当Δ=b2-4ac?0,原方程没有实数根。 负数没有平方根。 例题 1、不解方程,判断下列方程根的情况: (1)3x2+4x-3=0; 解:∵ Δ=b2-4ac=16-4×3×(-3)=52?0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2)4x2=12x-9; 解:将原方程化为一般形式,得:4x2-12x+9=0 ∵ Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0 ∴ 原方程有两个相等的实数根. (3)7y=5(y+1)2; 解:将原方程化为一般形式,得:5y2-7y+5=0 ∵ Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51?0 ∴ 原方程没有实数根. 2、已知关于x的方程(m-1)x2+x+1=0 (1) m为何值时,原方程有两个不相等的实数根? (2) m为何值时,原方程有两个相等的实数根? (3) m为何值时,原方程没有实数根? 解:∵ b2-4ac=12-4×(m-1)×1= -4m+5 (1) 原方程有两个不相等的实数根,即:-4m+5?0,m? 5 4 (2) 原方程有两个相等的实数根,即:-4m+5=0, m= 5 4 (2) 原方程没实数根,即:-4m+5?0, 5 m? 4 3、已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个根x1,x2 (1)求k的取值范围。 (2)当k取最大值时,求方程的两根。 1 k≤ 2 x1=0,x2=-2 练习 1、判断下列方程的根的情况: 有两个不 (1) 1 2 x2+x-1=0 Δ= 3 .方程 相等的实数根 的实数根。 (2)√2 x2-3x+2=0 Δ=9-8√2.方程 无实数根 的实数根。 有两个相等 (3) 7x2-14x+7=0 Δ= 0 .方程 的实数根 的实数根。 2、关于x的方程x2-4x+m=0,当m ?4 时,方程有两个不 相等的实数根;当m =4 时,方程有两个相等的实数根; 当m ?4 时,方程没有实数根; 3、已知a、b、c是ΔABC的三边长,那么关于x的方程 cx2+(a+b)x+ c 4 =0的根的情况是 有两个不相等的实数根。 4、若一次函数y=2x-1与反比例函数y= k x 的图像有两个 不同的交点,则k的取值范围是 k?- 1 8 且k≠0 。 5、已知a、b、c是ΔABC的三边,且关于x的方程 b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根, 试判定ΔABC的形状。 直角三角形 6、已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 (1)求证:方程有两个不相等的实数根。Δ=b2-4ac=1?0 (2)若ΔABC的两边AB、AC是方程的两根, 第三边BC长是5,当ΔABC时等腰三角形时,求k的值。 小结 k=4或k=5 一元二次方程根的判别式及应用。 作业:P45 A B



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